数学运算专题(一)：方阵问题

    数学运算在近年来的考试中已经成为一个非常重要的考试内容，说它重要主要是因为它的难度越来越大，考生极易失分，所以应考者必须充分地进行备考复习。这一节我们谈一下数学运算中的方阵问题。

    方阵问题

    学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题).

    方阵的基本特点是：

    ①方阵不论在哪一层，每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2，

    ②每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系：

    四周人(或物)数=[每边人(或物)数一1]×4；

    每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1

    ③中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数×每边人(或物)数.

    例1 有陆、海、空三兵种士兵组成的仪仗队，每兵种队伍400人，都分成8竖行并列行进。陆军队前后每人间隔1米，海军队前后每人间隔2米，空军队前后每人间隔3米。每兵种队伍之间相隔4米，三兵种士兵每分都走80米，三兵种队伍的仪仗队通过98米的检阅台需要多少分?

    分析与解答 这道例题仍是植树问题的逆解题，相当于已知树数、每两株相邻树间的距离，求树列的全长。由于三兵种队伍的仪仗队要通过检阅台，除了三兵种队伍的仪仗队的长度，还必须加上检阅台的长度。知道总长度和士兵步行的速度，就可以求出通过检阅台的时间。

    (1)三兵种队伍每竖行的人数是：400÷8=50(人)

    (2)陆军队伍的长度是：1×（50-1)=49(米)

    (3)海军队伍的长度是：2×（50-1)=98(米)

    (4)空军队伍的长度是：3×（50-1)=147(米)

    (5)三兵种队伍的间隔距离是：4×（3-1)=8(米)

    (6)三兵种队伍的全长是：49+98+147+8=302<米)

    (7)队伍全长与检阅台的总长度是： 302+98=400(米)

    (8)通过检阅台所需的时间是： 400÷80=5(分)

    请你试一试，看看怎样列综合算式?列式后你会应用简便方法进行计算吗?

    综合列式计算：

    [1×（400÷8-1)+2×（400÷8—1)+3×（400÷8—1)+4×（3—1)+98]÷80

    =[49×（1+2+3)+8+98]÷80

    =400÷80=5(分)

    答：通过检阅台需要5分。

    例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？

    分析 图7-7表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；不管是减去哪一行、哪一列，只要是同时横竖各减少一排，那么必然有1人而且只有1人是同时属于被减去的一行和一列，也就是，去掉横竖各—排时，去掉的总人数是：

    原每行人数×2-1

    或者是：

    减少后每行人数×2+1

    根据图2-4的启示.我们可得到此题的解。
    X X X X X

    X X X X X

    X X X X X

    X X X X X

    X X X X X

    图2—4

    解法一 先利用去掉横竖各一排时，去掉的总人数为：原每行人数×2-1。求出团体操队列每行有多少人，再求参加团体操运动员的人数。

    (33+1)÷2=17(人)

    17×17=289(人)

    解法二 利用去掉横竖各—排时，去掉的总人数为：减少后的每行人数×2+1，求出减少人数后的团体操队列的每行人数，再求参加团体撮的运动员人数。

    (33-1)÷2=16(人)

    16×16+33=289(人)

    答：参加团体操表演的有289人。

    数学运算专题(二)：年龄问题 

    解决应用题，关键在于掌握题目中的数量关系，从已知条件寻找它们之间的内在联系，注意各种量之间的转换，然后统一到所求量上来。

    年龄问题

    特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。

    解答年龄问题的一般方法是： 

    几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差一小年龄，

    几年前年龄＝小年龄一大小年龄差÷倍数差。

    例1 父亲现年50岁，女儿现年14岁。问：几年前父亲年龄是女儿的5倍?

    分析 父女年龄差是50-14＝36(岁)。不论是几年前还是几年后，这个差是不变的。当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁。这36岁是父亲比女儿多的5-1＝4(倍)所对应的年龄。

    解法1 (50-14)÷（5-1)＝9(岁)

    当时女儿9岁，14-9＝5(年)，也就是5年前。

    答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍。

    解法2 设年前父亲的年龄是女儿年龄的5倍，是可列方程为：50— =(14— )×5， =5。

    例2 甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有：

    A.45岁，26岁 B.46岁，25岁 C.47岁24岁 D.48岁，23岁材 (2005年中央真题)

    解析：此题应直接选用代入法。

    如果采用方程法，则甲的年龄为X，乙的年龄为Y，则可列方程

    Y-(X-Y)=4

    X+(X-Y)=67

    解得X=46，Y=25

    所以，正确答案为B。

    例3 今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿子的年龄分别是( )。 (2000年中央真题)

    A.60岁，6岁 B.50岁，5岁 C.40岁，4岁 D.30岁，3岁

    解析：依据“年龄差不变”这个关键和核心，今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，也即父子年龄差是9倍儿子的年龄。6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，也即父子年龄差是3倍儿子的年龄(6年后的年龄)。依据年龄差不变，我们可知

    9倍儿子现在的年龄＝3倍儿子6年后的年龄

    即9倍儿子现在的年龄＝3×（儿子现在的年龄+6岁)

    即6倍儿子现在的年龄＝3×6岁

    儿子现在的年龄＝3岁

    父现在的年龄＝30岁

    注：此种类型题在真考时非常适合使用代入法，只要将四个选项都加上6，看看是否成4倍关系，只有D选项符合，用时不超过10秒，从而成为最优的方法，代入法是公务员考试最常使用的方法，请广大考生借鉴此法。

    数学运算专题(三)：容斥原理 

    容斥原理

    容斥原理是近年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，这一节我们举几个这方面的例题讲解一下，另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。

    例题1：2004年中央A类真题

    某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。

    A.22 B.18 C.28 D.26

    解析：设A＝第一次考试中及格的人(26)，B＝第二次考试中及格的人(24)

    显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32-4＝28，

    则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝50-28＝22

    所以，答案为A。377474

    例题2：2004年山东真题182594

    某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人

    A.57 B.73 C.130 D.69

    解析：设A＝会骑自行车的人(68)，B＝会游泳的人(62)

    显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85-12＝73，

    则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝130-73＝57

    所以，答案为A。

    例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？

    解析：设A＝看过2频道的人(62)，B＝看过8频道的人(34)

    显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人(11)

    则根据公式A∪B＝A＋B-A∩B＝96-11＝85

    所以，两个频道都没有看过的人数＝100-85＝15

    所以，答案为15。

    例题4：2005年中央A类真题

    对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：

    A.22人 B.28人 C.30人 D.36人

    解析：设A＝喜欢看球赛的人(58)，B＝喜欢看戏剧的人(38)，C＝喜欢看电影的人(52)

    A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)

    B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)

    A∩B∩C＝三种都喜欢看的人(12)

    A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)

    根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A-A∩B∩C

    C∩A＝A＋B＋C-(A∪B∪C＋A∩B＋B∩C-A∩B∩C)

    ＝148-(100＋18＋16-12)＝26

    所以，只喜欢看电影的人＝C-B∩C-C∩A＋A∩B∩C

    ＝52-16-26＋12

    ＝22

    数学运算专题(四)：行程问题 

    行程问题

    我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.

    在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程＝速度×时间。

    例1 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。

    分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10(米)，乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15(米)。本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大(10+15)米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为(10+15)×14＝350(米)。又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和。